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已知a∈R，求函数f（x）=（2-3a）x2-2x+a在区间[0，1]上的最小值．

分类: 作业答案 • 2022-01-20 20:43:32

问题描述：

已知a∈R，求函数f（x）=（2-3a）x²-2x+a在区间[0，1]上的最小值．

答

Ⅰ、当2-3a=0，即 a＝

2

3

时，f(x)＝−2x+

2

3

在[0，1]上递减
∴fmin(x)＝f(1)＝−

4

3

（2分）
当2-3a≠0，即a≠

2

3

时，f（x）为二次函数　　（3分）
Ⅱ、若2-3a＞0，即a＜

2

3

时，f（x）的开口向上，其对称轴为x＝

1

2−3a

（4分）
①当2-3a＞1时，即 a＜

1

3

时，此时0＜

1

2−3a

＜1，
∴fmin(x)＝f(

1

2−3a

)＝

3a2−2a+1

3a−2

（6分）
②当 0＜2-3a≤1，即

1

3

≤a＜

2

3

时，此时

1

2−3a

≥ 1，f_min（x）=f（1）=-2a （8分）
Ⅲ、若2-3a＜0，即a＞

2

3

时，f（x）的开口向下，其对称轴为x＝

1

2−3a

（9分）
f_min（x）=f（1）=-2a　　　　　　　　　　　　　（10分）
综上可得：fmin(x)＝

3a2−2a+1

3a−2

，a＜

1

3

−2a，a≥

1

3

　　（12分）