已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F．⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为π3的直线n，交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO=OB=2．（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方

分类: 作业答案 • 2022-01-20 15:40:15

问题描述：

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F．⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为

的直线n，交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO=OB=2．

（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方程；
（Ⅱ）若P为抛物线C上的动点，求

•

的最小值；
（Ⅲ）过l上的动点Q向⊙M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．

答

（Ⅰ）因为

＝OA•cos60°＝2×

＝1，即p=2，所以抛物线C的方程为y²=4x（2分）
设⊙M的半径为r，则r＝

•

cos60°

＝2，所以⊙M的方程为（x-2）²+y²=4（5分）
（Ⅱ）设P（x，y）（x≥0），则

•

＝(2−x，−y)(1−x，−y)=x²-3x+2+y²=x²+x+2（8分）
所以当x=0时，

•

有最小值为2（10分）
（Ⅲ）以点Q这圆心，QS为半径作⊙Q，则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦（11分）
设点Q（-1，t），则QS²=QM²-4=t²+5，
所以⊙Q的方程为（x+1）²+（y-t）²=t²+5（13分）
从而直线ST的方程为3x-ty-2=0（*）（14分）
因为

x＝

y＝0

一定是方程（*）的解，所以直线ST恒过一个定点，且该定点坐标为(

，0)（16分）

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F．⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为π3的直线n，交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO=OB=2． （Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方