工厂需要围建一个面积为512m2 的矩形堆料场,一过可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,我们知道,砌起的新墙的总长度y(单位:m)是利用原有墙壁长度x(单位:m)的函数.

问题描述:

工厂需要围建一个面积为512m2 的矩形堆料场,一过可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,我们知道,砌起的新墙的总长度y(单位:m)是利用原有墙壁长度x(单位:m)的函数.
(1)写出y关于x的函数解析式,确定x的取值范围:
(2)随着x的变化,y的变化有何规律?
(3)堆料场的长、宽比为多少时,需要砌起的新墙用的材料最省?

(1)由题意可得矩形与墙面垂直的边长为

y−x
2

y−x
2
•x
=512,变形可得y=x+
1024
x

由题意可得x>0,
(2)由(1)知y=x+
1024
x
,求导数可得y′=1-
1024
x2

令1-
1024
x2
<0可解得0<x<32,
故当x∈(0,32)时,函数y=x+
1024
x
单调递减,
当x∈(32,+∞)时,函数y=x+
1024
x
单调递增;
(3)由(2)知,函数y=x+
1024
x
在x=32处取到极小值,
唯一的极小值也是最小值,此时y=64,
y−x
2
=16,
故长和宽分别为32和16时,用料最省.