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设a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：(a+1/a)2+(b+1/b)2≥25/2．

分类: 作业答案 • 2022-01-19 12:33:22
问题描述：

设a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：(a+

1
a
)2+(b+
1
b
)2≥
25
2
．

答

证明：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，
∴

ab
≤
a+b
2
＝
1
2
，
∴ab≤
1
4
，∴
1
ab
≥4，
∴(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2≥2(
a+
1
a
+b+
1
b
2
)2＝2(
1+
1
a
+
1
b
2
)2=2(
1+
a+b
ab
2
)2＝2(
1+
1
ab
2
)2≥2(
1+4
2
)2＝
25
2

即(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2≥
25
2
．

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