已知函数f(x)=x2+2x+1/2x,其中x∈[1,+∞).(1)试判断它的单调性;(2)试求它的最小值.

问题描述:

已知函数f(x)=

x2+2x+
1
2
x
,其中x∈[1,+∞).
(1)试判断它的单调性;
(2)试求它的最小值.

(1)函数f(x)=

x2+2x+
1
2
x
=x+
1
2x
+2,
设1≤x1≤x2时,f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(
1
2x1
-
1
2x2
)=(x1-x2
2x1x2-1
2x1x2

因为1≤x1≤x2,所以x1-x2<0,
2x1x2-1
2x1x2
>0

所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
所以f(x)在区间[1,+∞)上单调递增;
(2)因为f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,
所以当x=1时,f(x)有最小值
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