一个非零的自然数a,若它恰好是另一个自然数b的平方,则称自然数a的完全平方数,已知：M=2011^2+2012^2×2011^2+2012^2,试说明M是一个完全平方数.
问题描述：
一个非零的自然数a,若它恰好是另一个自然数b的平方,则称自然数a的完全平方数,已知：
M=2011^2+2012^2×2011^2+2012^2,试说明M是一个完全平方数.
答
设：2011=x，则原式M=x²＋x²﹙x＋1﹚²＋﹙x＋1﹚²=﹙x²﹚²＋x²＋1²＋2x³＋2x²＋2x=﹙x²＋x＋1﹚²。∴M是一个完全平方数
答
把2011^2分解为2012*2011 - 2011
把2012^2分解为2011*2012 + 2012
然后重新合并：
M=2011^2+2012^2×2011^2+2012^2
=2012*2011 - 2011+2012^2×2011^2+2011*2012 + 2012
=(2012×2011)^2+2*(2012*2011 )+ 1
=(2012*2011+1)^2