Σ是曲面z=根号(x^2+y^2)被z=1和z=2所截部分的下侧,计算∫∫(y+z)dydz+z^2dxdy.
问题描述：
Σ是曲面z=根号(x^2+y^2)被z=1和z=2所截部分的下侧,计算∫∫(y+z)dydz+z^2dxdy.
答案是-15π/2
答
补面Σ1：z = 2上侧∬Σ1 2² dxdy = 4∬D dxdy,D：x² + y² ≤ 4= 4 * 4π = 16π补面Σ2：z = 1下侧∬Σ2 1² dxdy= - ∬D dxdy,D：x² + y² ≤ 1= - π∬(Σ...能不能不用高斯公式直接求？可以啊，不过麻烦些。
改为xOy面：
z = √(x² + y²)，∂z/∂x = x/√(x² + y²)、∂z/∂y = y/√(x² + y²)
∬Σ (y + z)dydz + z²dxdy
= - ∬D [(y + z)(- ∂z/∂x) + z²] dxdy
= - ∬D [- (y + z) * x/√(x² + y²) + z²] dxdy，D：1 ≤ x² + y² ≤ 4
= - ∬D [ - (y + √(x² + y²)) * x/√(x² + y²) + (x² + y²)] dxdy
= - ∬D (x² + y²) dxdy
= - ∫(0，2π) dθ ∫(1，2) r³ dr
= - 2π * 15/4
= - 15π/2