设函数y=f(x)是定义在R上以1为周期的函数,若g(x)=f(x)-2x在区间[2,3]上的值域为[-2,6],则函数g(x)在[-12,12]上的值域为(  )A. [-2,6]B. [-20,34]C. [-22,32]D. [-24,28]

问题描述:

设函数y=f(x)是定义在R上以1为周期的函数,若g(x)=f(x)-2x在区间[2,3]上的值域为[-2,6],则函数g(x)在[-12,12]上的值域为(  )
A. [-2,6]
B. [-20,34]
C. [-22,32]
D. [-24,28]

由g(x)在区间[2,3]上的值域为[-2,6],可设g(x0)=-2,g(x1)=6,x0,x1∈[2,3],g(x0)=f(x0)-2x0=-2,
∵y=f(x)是定义在R上以1为周期的函数,∴g(x0+n)=f(x0+n)-2(x0+n)=f(x0)-2x0-2n=-2-2n.
同理g(x1+n)=6-2n,
12-3=9,于是g(x)在[-12,12]上的最小值是-2-2×9=-20;-12-2=-14,于是g(x)在[-12,12]上的最大值是6-2(-14)=34.
∴函数g(x)在[-12,12]上的值域为[-20,34].
故选B.
答案解析:由已知不妨设g(x0)=-2,g(x1)=6,x0,x1∈[2,3],利用f(x)的周期为1可求g(x0+n).同理可求g(x1+n).再利用函数的单调性可求g(x)在[-12,12]上的最小值、最大值,从而得g(x)在[-12,12]上的值域.
考试点:函数的周期性;函数的值域.
知识点:本题考查了函数的值域、函数的周期性及其应用,考查了利用所学知识解决问题的能力.