用1、2、3、4、5、6、7、8 这八个数字组成两个四位数,要使这两个四位数的乘积值最大,则这两个四位数中,较大的一个是(  ) A.8531 B.8765 C.8624 D.8672

问题描述:

用1、2、3、4、5、6、7、8 这八个数字组成两个四位数,要使这两个四位数的乘积值最大,则这两个四位数中,较大的一个是(  )
A. 8531
B. 8765
C. 8624
D. 8672

显然,数值大的数码应放在最高位上,但下一步怎么排呢?先考虑比较简单的情形.
设a、b、c、d是自然数,且a>b>c>d,用a、b、c、d组成两个两位数,并且使它们的乘积最大.
如前所述,最高位必是a和b,但下一位的排法有两种:
10a+c、10b+d或10a+d、10b+c;现比较两组数的乘积的大小:
(10a+c)(10b+d)-(10a+d)(10b+c)=100ab+10ad+10bc+cd-100ab-10ac-10bd-cd=10ad+10bc-10ac-10bd=10(a-b)(d-c)<0
有此可见,在大自然数a的后面放较小的数码d,在较小自然数b后面放较大的数码c所得的乘积较大.
根据上述结论,把8、7、6、5四个数字分成两组构成两个两位数时,85×76的乘积最大.
同理,考虑8、7、6、5、4,3六个数字组成两个三位数时853×764乘积最大.
同理,考虑8、7、6、5、4,3,2,1六个数字组成两个三位数时8531×7642乘积最大.
∴较大的一个是8531.
故选A.