已知中心在原点,一焦点为F1(5根号2,0)的椭圆被直线y=1/3(x-2)截得的弦的中点横坐标为1/2,求椭圆的标准方
问题描述：
已知中心在原点,一焦点为F1(5根号2,0)的椭圆被直线y=1/3(x-2)截得的弦的中点横坐标为1/2,求椭圆的标准方
答
设两交点（x1,y1)和(x2,y2)
椭圆方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1
弦的中点横坐标为1/2,则
x1+x2=2*1/2=1
弦的中点过直线y=1/3(x-2),则
y1+y2=1/3(x1+x2-4)=-1
把两交点（x1,y1)和(x2,y2)代入椭圆方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1,相减得
(x1+x2)(x1-x2)/a^2+(y1+y2)(y1-y2)/b^2=0,
而(y1-y2)/(x1-x2)=1/3
得a^2=3b^2
而a^2=b^2+50
得a^2=75,b^2=25
所以椭圆方程：x^2/75+y^2/25=1