设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与g(1/x)的大小关系；（Ⅲ）求a的取值范围，使得g（a）-g（x）＜1/a对任意x＞0成立．
问题描述：
设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论g（x）与g(
)的大小关系；1 x
（Ⅲ）求a的取值范围，使得g（a）-g（x）＜
对任意x＞0成立．1 a
答
（Ⅰ）由题设知f（x）=lnx，g（x）=lnx+
，1 x
∴g'（x）=
，令g′（x）=0得x=1，x-1 x2
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的单调减区间．
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的单调递增区间，
因此，x=1是g（x）的唯一值点，且为极小值点，
从而是最小值点，所以最小值为g（1）=1．
（II）g(
)=-Inx+x1 x
设h(x)=g(x)-g(
)=2lnx-x+1 x
，则h'（x）=-1 x
，(x-1)2 x2
当x=1时，h（1）=0，即g(x)=g(
)，1 x
当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（1）＜0，
因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，
当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，即g(x)＞g(
)，1 x
当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，即g(x)＜g(
)．1 x
（III）由（I）知g（x）的最小值为1，
所以，g（a）-g（x）＜
，对任意x＞0，成立⇔g（a）-1＜1 a
，1 a
即Ina＜1，从而得0＜a＜e．