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若函数f(x)＝x/x2+2(a+2)x+3a，(x≥1)能用均值定理求最大值，则需要补充a的取值范围是_．

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:03:45
问题描述：

若函数f(x)＝

x
x2+2(a+2)x+3a
，(x≥1)能用均值定理求最大值，则需要补充a的取值范围是______．

答

∵f(x)＝

x
x2+2(a+2)x+3a
＝
1
x+
3a
x
+2(a+2)
(x≥1)，∴若函数f(x)＝
x
x2+2(a+2)x+3a
，(x≥1)能用均值定理求最大值时a满足的条件即为g(x)＝x+
3a
x
(x≥1)应用均值定理取得最小值时满足的条件所求．
显然a＞0，由x+
3a
x
≥2
3a
，当且仅当x＝
3a
x
，即x＝
3a
时取“=”；∵x≥1∴
3a
≥1，∴a≥
1
3
．
故答案为：a≥
1
3
．

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