高等代数,矩阵运算证明
问题描述：
高等代数,矩阵运算证明
A,B,C,D都为nxn矩阵,A的行列式不为0,AC=CA,证：G的行列式=H的行列式,其中G为2x2分块矩阵,G11=A,G12=B,G21=C,G22=D,H为1x1分块矩阵,H11=AD-CB
答
实际上无论A是否可逆,只要满足AC=CA,均有|A,B；C,D|=|AD-CB|,A可逆时直接利用初等变换,A不可逆时利用下扰动法即可
（1）A可逆时：
[I,0；-CA^（-1）,I]乘[A,B；C,D]=[A,B；0,-CA^（-1）B+D].两边取行列式,|A,B；C,D|=|A||D-CA^（-1）B|=|AD-ACA^（-1）B|=|AD-CAA^（-1）B|=|AD-CB|
（2）A不可逆时：令A1=A+tI,则|A1|=f（t）=t^n+…+|A|（n次多项式）,设t1为f（t）最小正根,则对于任意的t属于（0,t1）,均有f（t）不等于0,即A1可逆,用A1代换（1）中的A,可得|A1,B；C,D|=|A1D-CB|,令t趋于0,即得|A,B；C,D|=|AD-CB|