如图，A、B、C、D是空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=2，等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动． （Ⅰ）当平面ADB⊥平面ABC时，求三棱锥D-ABC的体积； （Ⅱ）当△ADB转动过程中，是否总有AB⊥CD？
问题描述：
如图，A、B、C、D是空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=
，等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动．
2
（Ⅰ）当平面ADB⊥平面ABC时，求三棱锥D-ABC的体积；
（Ⅱ）当△ADB转动过程中，是否总有AB⊥CD？请证明你的结论．
答
（Ⅰ）取AB的中点E，连接DE，CE，
因为ADB是等边三角形，所以DE⊥AB．
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB∩平面ABC=AB，
所以DE⊥平面ABC，
可知DE⊥CE
由已知可得 DE＝
，EC＝1，
3
则S△ABC=1，
VD-ABC=
×1 3
×1=
3
．
3
3
（Ⅱ）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD．
证明：（ⅰ）当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，
所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD．
（ⅱ）当D不在平面ABC内时，由（Ⅰ）知AB⊥DE．又因AC=BC，所以AB⊥CE．
又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD．
综上所述，总有AB⊥CD．