A,B,C,D空间四点,在三角形ABC中,AB=2,AC=BC=根号2,等边三角形ADB以AB为轴转动.1.当平面ADB⊥平面ABC时,求CD； 2.当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的
问题描述：
A,B,C,D空间四点,在三角形ABC中,AB=2,AC=BC=根号2,等边三角形ADB以AB为轴转动.1.当平面ADB⊥平面ABC时,求CD； 2.当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的
答
（Ⅰ）取AB的中点E,连结DE,CE,因为ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面 平面ABC=AB,所以DE平面ABC,可知DE⊥CE由已知可得 ,在Rt△DEC中,（Ⅱ）当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD证明：（ⅰ）当D在平面ABC内时,因为AC=BC,AD=BD,所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即AB⊥CD（ⅱ）当D不在平面ABC内时,由（Ⅰ）知AB⊥DE．又因AC⊥BC,所以AB⊥CE又DE,CE为相交直线,所以AB⊥平面CDE,由 平面CDE,得AB⊥CD．综上所述,总有AB⊥CD