n阶方阵A的两个特征值λ 1与λ2所对应的特征向量分别为a1与a2,且λ1=-λ2不等于0,则下列结论正确的是
问题描述：
n阶方阵A的两个特征值λ 1与λ2所对应的特征向量分别为a1与a2,且λ1=-λ2不等于0,则下列结论正确的是
A a1+a2是A的特征向量 B a1-a2是A的特征向量
C a1+a2是A^2的特征向量 D a1+a2是A^2的特征向量
答
你自行证明下面三个命题.
1、如果n阶方阵A的两个不同的特征值λ 1与λ2所对应的特征向量分别为a1与a2
那么任取的k1,k2均不为零,k1a1+k2a2一定不为A的特征向量.
（或取其逆否命题,k1a1+k2a2一定为A的特征向量,当且仅当,k1=0或k2=0)
2、如果a1是A的特征值λ1对应的特征向量,他一定是A^2的特征值λ1^2对应的特征向量
3、如果a1,a2均为A的特征值λ1对应的特征向量,
那么任取的k1,k2不全为零,k1a1+k2a2为A的特征值λ1对应的特征向量.
那么你不难发现,选C（D,实际上D选项和C重复了,怀疑为A^3,那么D是错的）2、如果a1是A的特征值λ1对应的特征向量，他一定是A^2的特征值λ1^2对应的特征向量这个怎么证出来的?还有C答案!最后导出来的结果是(a1+a2)A^2=λ1^2(a1-a2)(a1+a2)吗?如果a1是A的特征值λ1对应的特征向量则Aλ1=λ1a1故A^2a1=Aλ1a1=λ1Aa1=λ1^2a1 不是，因为a1、a2均为λ1^2对应的特征向量，故a1+a2是λ1^2对应的特征向量 其实提示已经很明显了，你应该多动动手。A^2a1=Aλ1a1=λ1Aa1=λ1^2a1^2你带进去A最后应该是λ1^2a1^2啊!你算错了，请仔细λ1Aa1=λ1(Aa1)=λ1(λ1a1)=λ1^2a1不要想当然。