北大08自主招生数学的一道不等式题
问题描述：
北大08自主招生数学的一道不等式题
已知a1+a2+a3=b1+b2+b3,a1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1,若已知min{a1,a2,a3}不大于min{b1,b2,b3},求证：max{a1,a2,a3}不大于maz{b1,b2,b3}.
参考方法用了构造……
答
证明：记
f(x) = (x-a1)(x-a2)(x-a3),g(x) = (x-b1)(x-b2)(x-b3)
由题设易知
f(x) - g(x) = b1b2b3 - a1a2a3 = d (记为d)
记 a = min{a1,a2,a3},b = min{b1,b2,b3},A = max{a1,a2,a3},B = max{b1,b2,b3}
有 f(a) = 0,由 a≤b 易知 g(a) = (a-b1)(a-b2)(a-b3) ≤ 0
从而有 d = f(a)-g(a) ≥ 0
因为g(x)在x≥B时是个单调递增函数,而g(B)=0,从而有
g(x) > 0,任意 x> B
因此x>B时,f(x) = g(x)+d > 0
而f(A) = 0,所以A不可能大于B,因此 A≤ B.
证毕.