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△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B．

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:01:39
问题描述：

△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B．

答

证明：由正弦定理可知，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，
得sin2A=sinB（sinB+sinC）
∴sin2A-sin2B=sinBsinC
∴

1−cos2A
2
-
1−cos2B
2
=sinBsin（A+B）
∴
1
2
（cos2B-cos2A）=sinBsin（A+B）
∴sin（A+B）sin（A-B）=sinBsin（A+B），
因为A、B、C为三角形的三内角，
所以sin（A+B）≠0．所以sin（A-B）=sinB．
所以只能有A-B=B，即A=2B．

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