已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^=1和椭圆x^2/m^2+y^2/b^2=1的离心率互为倒数,以a.b.m为边长的三角形是什么形状?
问题描述：
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^=1和椭圆x^2/m^2+y^2/b^2=1的离心率互为倒数,以a.b.m为边长的三角形是什么形状?
答
x^2/a^2-y^2/b^=1
e曲=c/a=√(a^2+b^2)/a
椭圆x^2/m^2+y^2/b^2=1
e椭=c/a=√(m^2-b^2)/m
因为 e曲*e椭=1
则
√(a^2+b^2)/a*√(m^2-b^2)/m=1
√(a^2+b^2)*√(m^2-b^2)=am 两边平方
(a^2+b^2)(m^2-b^2)=a^2m^2
a^2m^2+b^2m^2-a^2b^2-b^4=a^2m^2
b^2(m^2-a^2-b^2)=0
m^2=a^2+b^2
所以以a.b.m为边长的三角形是直角三角形