已知函数f（x）=x2-1与函数g（x）=alnx（a≠0）．（Ⅰ）若f（x），g（x）的图象在点（1，0）处有公共的切线，求实数a的值；（Ⅱ）设F（x）=f（x）-2g（x），求函数F（x）的极值．
问题描述：
已知函数f（x）=x2-1与函数g（x）=alnx（a≠0）．
（Ⅰ）若f（x），g（x）的图象在点（1，0）处有公共的切线，求实数a的值；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）-2g（x），求函数F（x）的极值．
答
（I）因为f（1）=0，g（1）=0，
所以点（1，0）同时在函数f（x），g（x）的图象上（1分）
因为f（x）=x2-1，g（x）=alnx，f'（x）=2x，（3分）g′(x)=
（5分）a x
由已知，得f'（1）=g'（1），所以2=
，即a=2（6分）a 1
（II）因为F（x）=f（x）-2g（x）=x2-1-2alnx（x＞0）（7分）
所以F′(x)=2x-
=2a x
（8分）2(x2-a) x
当a＜0时，因为x＞0，且x2-a＞0，所以F'（x）＞0对x＞0恒成立，
所以F（x）在（0，+∞）上单调递增，F（x）无极值（10分）
当a＞0时，令F'（x）=0，解得x1=
，x2=-
a
（舍）（11分）
a
所以当x＞0时，F'（x），F（x）的变化情况如下表：（13分）
所以当x=
时，F（x）取得极小值，且F(
a
)=(
a
)2-1-2aln
a
=a-1-alna．（14分）
a
综上，当a＜0时，函数F（x）在（0，+∞）上无极值；
当a＞0时，函数F（x）在x=
处取得极小值a-1-alna．
a