已知椭圆c的离心率为根号3 /2,过椭圆C的焦点且垂直于X轴的直线被椭圆C截得

问题描述:

已知椭圆c的离心率为根号3 /2,过椭圆C的焦点且垂直于X轴的直线被椭圆C截得
的线段长为1.(1)求椭圆C的方程 (2)过点M(m,0)做圆X^2+y^2=1的切线l交曲线C于A,B两点.试探究|AB|是否有最大值?若有,求出m

e=√3/2
过椭圆C的焦点且垂直于X轴的直线被椭圆C截得的线段长为1
即点(c,1/2)在椭圆上
c²/a²+(1/4)/b²=1
c²/a²=3/4
∴b²=1
a²=4
椭圆方程是x²/4+y²=1
(2)
由题意知:
|m|≥1
当m=1时,切线l的方程为x=1
点A,B的坐标分别为(1,√3/2),(1,-√3/2)
此时,|AB|=√3
当m=-1时,同理可得|AB|=√3
当|m|>1时,设切线l的方程为y=k(x-m)
由:
{y=k(x-m)
{(x²/4)+y²=1
得:
(1+4k²)x²-8k²mx+4k²m²-4=0
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)
则由韦达定理,得:
x1+x2=8k²m/(1+4k²)
x1•x2=(4k²m²-4)/(1+4k²)
又l与圆x²+y²=1相切,得:
|km|/√(k²+1)=1
即m²k²=k²+1
∴|AB|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
=√(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]
=√(1+k²)[ [64k⁴m²/(1+4k²)²]-[4(4k²m²-4)/(1+4k²)] ]
=(4√3|m|)/(m²+3)
由于当m=±1时,|AB|=√3
∴|AB|=(4√3|m|)/(m²+3),m∈(-∞,-1]∪[1,+∞)
∵|AB|=(4√3|m|)/(m²+3)=4√3/[ |m|+(3/|m|) ] ≤2
且当m=±√3时,|AB|=2
∴|AB|的最大值为2