已知:a.b都是正数,求证a^4+b^4大于等于a^3b+ab^3

问题描述:

已知:a.b都是正数,求证a^4+b^4大于等于a^3b+ab^3

证明:
(a^4+b^4)-(a^3b+ab^3)
=(a^4-a^3b)-(ab^3-b^4)
=a^3(a-b)-b^3(a-b)
=(a-b)(a^3-b^3)
=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)
因为(a-b)^2≥0,
a.b都是正数,所以a^2+ab+b^2>0
所以(a-b)^2(a^2+ab+b^2)≥0
所以(a^4+b^4)-(a^3b+ab^3)≥0
a^4+b^4大于等于a^3b+ab^3