已知抛物线y²=2px(p>0),点A(2,3),F为焦点,
问题描述：
已知抛物线y²=2px(p>0),点A(2,3),F为焦点,
若抛物线上的动点到A、F的距离之和的最小为10^(1/2),求抛物线方程
答
抛物线y²=2px,焦点F(p/2,0),准线x=-p/2
设P为抛物线动点,PA+PF的最小值为√10
当A(2,3)在抛物线口外时,当A,P,F三点共线
且P在A,F之间时取得最小值
|AF|=√[(2-p/2)²+3²]=√10
∴p²/4-2p-3=0
p²-8p-12=0
解得p=6或p=-2(舍去）
此时抛物线y²=12x,将x=2代入y²=24>3²
A(2,3)在口内矛盾
当A(2,3)在口内时
P到焦点距离等于p到准线距离d
∴PA+PF=PA+d
当PA与准线垂直时,取得最小值√10
∴2-(-p/2)=√10
p=2√10-4
∴抛物线方程为
y²=4(√10-2)x