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设F是双曲线x2a2-y2b2=1的右焦点，双曲线两渐近线分另.为l1，l2过F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A，B两点.若OA，AB，OB成等差数列，且向量BF与FA同向，则双曲线的离心率e的大小为（　　） A.3

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:02:03

问题描述：

设F是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点，双曲线两渐近线分另.为l₁，l₂过F作直线l₁的垂线，分别交l₁，l₂于A，B两点.若OA，AB，OB成等差数列，且向量

BF

与

FA

同向，则双曲线的离心率e的大小为（　　）
A.

3

2

B.

2

C. 2
D.

5

2

答

由条件知，OA⊥AB，所以OA²+AB²=OB²，
因为OA，AB，OB成等差数列，所以2AB=OA+OB，
所以OA：AB：OB=3：4：5，
于是tan∠AOB=

4

3

．
因为向量

BF

与

FA

同向，所以过F作直线l₁的垂线与双曲线相交于同一支．
而双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程分别为

x

a

±

y

b

=0，故

2•

b

a

1−(

b

a

)2

=

4

3

，
解得a=2b，
故双曲线的离心率e=

c

a

=

5

2

．