设F是双曲线x2a2-y2b2=1的右焦点，双曲线两渐近线分另.为l1，l2过F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A，B两点.若OA，AB，OB成等差数列，且向量BF与FA同向，则双曲线的离心 率e的大小为（ ）A. 32B. 2C. 2D. 52
问题描述：
设F是双曲线
-x2 a2
=1的右焦点，双曲线两渐近线分另.为l1，l2过F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A，B两点.若OA，AB，OB成等差数列，且向量y2 b2
与
BF
同向，则双曲线的离心 率e的大小为（ ）
FA
A.
3 2
B.
2
C. 2
D.
5
2
答
知识点：本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，确定tan∠AOB=
，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．
由条件知，OA⊥AB，所以OA2+AB2=OB2，
因为OA，AB，OB成等差数列，所以2AB=OA+OB，
所以OA：AB：OB=3：4：5，
于是tan∠AOB=
．4 3
因为向量
与
BF
同向，所以过F作直线l1的垂线与双曲线相交于同一支．
FA
而双曲线
-x2 a2
=1的渐近线方程分别为y2 b2
±x a
=0，故y b
=2•
b a 1−(
)2
b a
，4 3
解得a=2b，
故双曲线的离心率e=
=c a
．
5
2
答案解析：由勾股定理、OA，AB，OB成等差数列，得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．
考试点：双曲线的简单性质．
知识点：本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，确定tan∠AOB=
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