对任意x属于(0,π/2),不等式p(sinx)^2+4(sinx)^2+4(cosx)^4>=1恒成立,则实数p的取值范围为
问题描述：
对任意x属于(0,π/2),不等式p(sinx)^2+4(sinx)^2+4(cosx)^4>=1恒成立,则实数p的取值范围为
答
对任意x属于(0,π/2),不等式psin²x+4sin²x+4cos⁴x≧1恒成立，则实数p的取值范围为
由psin²x+4sin²x+4cos⁴x≧1，得p≧(1-4sin²x-4cos⁴x)/sin²x=[1-4sin²x-4(1-sin²x)²]/sin²x
=[1-4sin²x-4(1-2sin²x+sin⁴x)]/sin²x=(-4sin⁴x+4sin²x-3)/sin²x=-(4sin⁴x-4sin²x+3)/sin²x
=-[4sin²x-4+(3/sin²x)]=4-(4sin²x+3/sin²x)
4sin²x+3/sin²x≧2√12=4√3，当4sin²x=3/sin²x，即sin⁴x=3/4，sinx=(3/4)^(1/4)时等号成立。
故4-(4sin²x+3/sin²x)≦4-4√3=4(1-√3)
所以要使原不等式恒成立，必须p≧4(1-√3)
答
变形p=