已知sin(α+β)=2/3,sin(α-β)=1/5,求sin2αsin2β的值.
问题描述：
已知sin(α+β)=2/3,sin(α-β)=1/5,求sin2αsin2β的值.
答
分析：直接使用三角函数的积化和差公式以及倍角公式。
sin(α+β)=2/3
cos(α+β)=±√[1-(2/3)^2]=±(√5)/3
sin(α-β)=1/5
cos(α-β)=±√[1-(1/5)^2]=±(2√6)/5
sin2αsin2β
=[sin(2α+2β)+sin(2α-2β)]/2
=[sin2(α+β)+sin2(α-β)]/2
=sin(α+β)cos(α+β)+sin(α-β)cos(α-β)
=(2/3)[±(√5)/3]+(1/5)[±(2√6)/5]
=±(2√5)/9±(2√6)/25
=±(50√5+18√6)/225
答
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=2/3
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=1/5
求得2cosαsinβ=7/15
2sinαcosβ=13/15
所以sin2αsin2β
= 2sinαcosβ*2cosαsinβ
=(7/15)*(13/15)=91/225