设函数f(x)=a•(b+c)，其中向量a=(sinx，-cosx)，b=(sinx，-3cosx)，c=(-cosx，sinx)，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数f（x）的图象按向量d平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d．
问题描述：
设函数f(x)=
•(
a
+
b
)，其中向量
c
=(sinx，-cosx)，
a
=(sinx，-3cosx)，
b
=(-cosx，sinx)，x∈R．
c
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象按向量
平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的
d
．
d
答
知识点：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图象的基本知识，考查推理和运算能力
（Ⅰ）由题意得，f（x）=a•（b+c）=（sinx，-cosx）•（sinx-cosx，sinx-3cosx）
=sin2x-2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x-sin2x=2+
sin（2x+
2
）．3π 4
所以，f（x）的最大值为2+
，最小正周期是
2
=π．2π 2
（Ⅱ）由sin（2x+
）=0得2x+3π 4
=k．π，即x=3π 4
-kπ 2
，k∈Z，3π 8
于是d=（
-kπ 2
，-2），|d|=3π 8
，k∈Z．
(
-kπ 2
)2+43π 8
因为k为整数，要使|d|最小，则只有k=1，此时d=（-
，-2）即为所求．π 8
答案解析：（Ⅰ）先用向量的运算法则及三角函数的倍角公式化简f（x），再用三角函数的周期公式求．
（Ⅱ）用整体代换的方法求出平移后得到的图象的所有对称中心，即求得
，通过二次函数的最值求．
d
考试点：平行向量与共线向量；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值．
知识点：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图象的基本知识，考查推理和运算能力