已知向量m=(2sinx,2cosx),n=(3cosx,cosx),f(x)=m•n−1.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标先缩短到原来的12,把所得到的图象再向左平移π6单位,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间[0,π8]上的最小值.

问题描述:

已知向量

m
=(2sinx,2cosx),
n
=(
3
cosx,cosx),f(x)=
m
n
−1.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标先缩短到原来的
1
2
,把所得到的图象再向左平移
π
6
单位,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间[0,
π
8
]
上的最小值.

(1)依题意得,f(x)=m•n-1=3sin2x+cos2x+1-1=2sin(2x+π6),∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π,由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)得:,kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)∴f(x)的单调递增区间为[kπ-π3,...
答案解析:(1)利用向量的坐标运算可求得f(x)=

m
n
-1=2sin(2x+
π
6
),从而可求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)利用三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得y=g(x)的表达式,从而可求得在区间[0,
π
8
]
上的最小值.
考试点:平面向量数量积的运算;三角函数的化简求值;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
知识点:本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,以向量的坐标运算为载体考查三角函数的化简求值,考查正弦函数的性质,是三角中的综合题,属于中档题.