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在△ABC中，求证：（1）sin2A+sin2B-sin2C=2sinAsinBcosC；（2）sinA+sinB-sinC=4sinA2sinB2cosC2．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 22:46:34
问题描述：

在△ABC中，求证：
（1）sin2A+sin2B-sin2C=2sinAsinBcosC；
（2）sinA+sinB-sinC=4sin

A
2
sin
B
2
cos
C
2
．

答

（1）证明：△ABC中，利用余弦定理可得cosC=

a2+b2−c2
2ab
，
即a2+b2-c2=2ab•cosC．
再利用正弦定理可得sin2A+sin2B-sin2C=2sinAsinBcosC，
∴要证的等式成立．
（2）△ABC中，∵等式右边=4sin
A
2
sin
B
2
cos
C
2
=4sin
A
2
sin
B
2
cos
π−A−B
2
 
=4sin
A
2
sin
B
2
sin
A+B
2
=4sin
A
2
sin
B
2
（sin
A
2
cos
B
2
+cos
A
2
sin
B
2
）
=2sin2
A
2
sinB+2sinAsin2
B
2
=（1-cosA）sinB+sinA（1-cosB）
=sinB+sinA-（sinBcosA+cosBsinA）=sinA+sinB-sin（A+B）
=sinA+sinB-sinC=左边，
∴要证的等式成立．
答案解析：（1）△ABC中，利用余弦定理可得a2+b2-c2=2ab•cosC．再利用正弦定理可得sin2A+sin2B-sin2C=2sinAsinBcosC，可得要证的等式成立．
（2）利用三角函数的恒等变换化简等式右边，结果正好等于等式的左边，可得要证的等式成立．
考试点：三角函数的化简求值．

知识点：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．

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