如图,AC是正方形ABCD的对角线,点O是AC的中点,点Q是AB上一点,连接CQ,DP⊥CQ于点E,交BC于点P,连接OP,OQ; 求证: (1)△BCQ≌△CDP; (2)OP=OQ.

问题描述:

如图,AC是正方形ABCD的对角线,点O是AC的中点,点Q是AB上一点,连接CQ,DP⊥CQ于点E,交BC于点P,连接OP,OQ;
求证:
(1)△BCQ≌△CDP;
(2)OP=OQ.

证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠PCD=90°,BC=CD,(2分)
∴∠2+∠3=90°,
又∵DP⊥CQ,
∴∠2+∠1=90°,
∴∠1=∠3,(4分)
在△BCQ和△CDP中,

∠B=∠PCD
BC=CD
∠1=∠3

∴△BCQ≌△CDP.(5分)
(2)连接OB.
(6分)
由(1):△BCQ≌△CDP可知:BQ=PC,(7分)
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,AB=BC,
而点O是AC中点,
BO=
1
2
AC=CO,∠4=
1
2
∠ABC=45°=∠PCO
,(9分)
在△BOQ和△CDP中,
BQ=CP
∠4=∠PCO
BO=CO

∴△BOQ≌△COP,
∴OQ=OP.(10分)