在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA−3cosCcosB＝3c−ab．（Ⅰ）求sinCsinA的值；（Ⅱ）若B为钝角，b=10，求a的取值范围．
问题描述：
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
＝cosA−3cosC cosB
．3c−a b
（Ⅰ）求
的值；sinC sinA
（Ⅱ）若B为钝角，b=10，求a的取值范围．
答
（本小题满分14分）
（I）由正弦定理，设
＝a sinA
＝b sinB
＝k，c sinC
则
＝3c−a b
＝3ksinC−ksinA ksinB
，3sinC−sinA sinB
所以
＝cosA−3cosC cosB
．…（4分）3sinC−sinA sinB
即（cosA-3cosC）sinB=（3sinC-sinA）cosB，
化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）．…（6分）
又A+B+C=π，
所以sinC=3sinA
因此
＝3．…（8分）sinC sinA
（II）由
＝3得c=3a．…（9分）sinC sinA
由题意
，…（12分）
a+c＞b
a2+c2＜b2
∴
＜a＜5 2
…（14分）
10
答案解析：（Ⅰ）直接利用正弦定理化简已知表达式，通过两角和的正弦函数与三角形的内角和，求出
的值；sinC sinA
（Ⅱ）通过（Ⅰ）求出a与c的关系，利用B为钝角，b=10，推出关系求a的取值范围．
考试点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．
知识点：本题考查正弦定理与两角和的正弦函数的应用，注意三角形的判断与应用，考查计算能力．