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△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，向量m=（2sinB，2-cos2B），n=（2sin2（π4+B2），-1）且m⊥.n．（1）求角B的大小；（2）若a=3，b=1，求c的值．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 22:37:48
问题描述：

△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，向量

m
=（2sinB，2-cos2B），
n
=（2sin2（
π
4
+
B
2
），-1）且
m
⊥
.
n
．
（1）求角B的大小；
（2）若a=
 3
，b=1，求c的值．

答

（1）由于

m
⊥
n
，所以
m
•
n
=0，所以2sinB•2sin2(
π
4
+
B
2
)-2+cos2B=0，
即2sinB•[1-cos2(
π
4
+
B
2
)]-2+cos2B=0，
即2sinB+2sin2B-2+1-2sinB2=0，
解得sinB=
1
2
．
由于0<B<π，所以B=
π
6
或
5π
6
；（6分）
（2）由a>b，得到A>B，即B=
π
6
，
由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，
代入得：1=3+c2-2
 3
c•
 3
2
或1=3+c2-2
 3
c•（-
 3
2
），
即c2+3c+2=0（无解）或c2-3c+2=0，
解得c=1或c=2．（12分）
答案解析：（1）根据
m
⊥
n
得关于角B的三角函数的方程，解方程即可求出角B；
（2）求出角B后，根据余弦定理可得一个关于c的一元二次方程，解这个方程求解c值．
考试点：两角和与差的正弦函数；数量积的坐标表达式；余弦定理．
知识点：本题考查三角形中三角恒等变换、解三角形．方程思想在三角形问题中的应用极为广泛，根据已知条件可得方程、根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等都可以得到方程，解三角形问题的实质就是根据有关定理列方程求解未知元素．

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