已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且向量BF等于2倍向量FD.求C的圆...已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且向量BF等于2倍向量FD.求C的圆心率?
问题描述：
已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且向量BF等于2倍向量FD.求C的圆...
已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且向量BF等于2倍向量FD.求C的圆心率?
答
设B坐标为（0,b），F坐标为（-c，0）那么由BF＝2FD，可得D点坐标为（b/2，-3c/2）,这个点在椭圆上，代入方程x2/(b2+c2)+y2/b2=1可以解出b/c,从而求解c/a.
答
用椭圆第二定义可得e=(√3)/3.
答
解析：|BF|=a
设BF倾角θ
∴cosθ=c/a=e
∵向量BF=2向量FD,∴|BF|=2|FD|
|BF|=ρ1=ep/(1-ecosθ)=ep/(1-e^2)
|FD|=ρ1=ep/(1-ecos(π+θ))=ep/(1+e^2)
∴ep/(1-e^2)=2ep/(1+e^2)==>e^2=1/3
∴e=√3/3