如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AD=BC，连接AC． （1）求证：△MAC是等腰三角形； （2）若AC为⊙O直径，求证：AC2=2AM•AB．
问题描述：
如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AD=BC，连接AC．
（1）求证：△MAC是等腰三角形；
（2）若AC为⊙O直径，求证：AC2=2AM•AB．
答
证明：（1）∵弧AD=弧CB，
∴∠MCA=∠MAC．
∴△MAC是等腰三角形．
（2）连接OM，∵AC为⊙O直径，
∴∠ABC=90°．
∵△MAC是等腰三角形，AM=CM，OA=OC，
∴MO⊥AC．
∴∠AOM=∠ABC=Rt△．
∵∠MAO=∠CAB，
∴△AOM∽△ABC．
∴
=AB OA
AC AM
∴AO•AC=AM•AB．
∴AC2=2AM•AB．