已知圆C：x2+y2=4，直线l过点P（1，2），且与圆C交于A，B两点，若|AB|=23，求直线l的方程．

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:02:03

问题描述：

已知圆C：x²+y²=4，直线l过点P（1，2），且与圆C交于A，B两点，若|AB|=2

，求直线l的方程．

答

分两种情况考虑：
（i）当直线l的斜率不存在时（或直线l与x轴垂直），
由P（1，2），得到直线l为x=1，
该直线与圆x²+y²=4相交于两点A（1，

），B（1，-

），
满足|AB|=2

，符合题意；（4分）
（ii）当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，
由P（1，2），得到直线l方程为y-2=k（x-1），即kx-y+（2-k）=0，
由圆的方程x²+y²=4，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，
∴圆心到直线l的距离d=

|2-k|

k2+1

，又|AB|=2

，
∴d²+（

|AB|

）²=r²，即（

|2-k|

k2+1

）²+（

）²=4，
整理得：-4k=-3，解得：k=

，
此时直线l的方程为

x-y+（2-

）=0，即3x-4y+5=0，（11分）
综上，直线l的方程为x=1或3x-4y+5=0．（12分）