利用函数的单调性定义证明函f(x)=x/x−1,x∈[2,4]是单调递减函数,并求函数的值域.

问题描述:

利用函数的单调性定义证明函f(x)=

x
x−1
,x∈[2,4]是单调递减函数,并求函数的值域.

证明:在[2,4]上任x1,x2.x1<x2,f(x1)=

x1
x1−1
,f(x2)=
x2
x2−1

f(x1)−f(x2)=
x1
x1−1
x2
x2−1
=
x2x1
(x1−1)(x2−1) 

∵2≤x1<x2≤4,∴x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0
∴f(x1)-f(x2)>0,
∴f(x1)>f(x2),∴f(x)是在[2,4]上的减函数
当x=2时函数取最大值2,当x=4时函数取最小值
4
3

 因此,函数的值域[
4
3
,2]