证明：（半）正定矩阵A都可以写成另一个（半）正定矩阵B的平方,即A=B^2

A(半)正定,则A对称.设A的特征值分解为A=QDQ^T,其中Q是正交阵,
D是对角阵,D=diga(d1,d2,...,dn).由于A(半)正定,故D(半)正定,
于是di>0（di>=0）,1=0),且ci^2=di.
于是C(半)正定,且C^2=D.
令B=QCQ^T,则B(半)正定,且B^2=(QCQ^T)^2=QC^2Q^T=QDQ^T=A.
证毕.哪个推论？公式4.1.2是？1、A对称，则存在正交阵Q，使得Q^TAQ＝D是对角阵（已证），因此任意的k，有A^k＝QD^kQ^T，tr(A^k)＝tr(D^k)＝求和(i＝1到n)di^k，di是题目的特征值。反之，正交阵Q使得Q^TAQ＝D是对角阵，则A＝QDQ^T，A^T＝QDQ^T=A，A对称。第二个等价号错误。2、A反对称，即A^T＝－A，则A^TA＝AA^T，A是正规阵，再注意到反对称阵的特征值只能是0或者是纯虚数，故由4.1.2式结论成立。反之，Q^TAQ＝右边的直和＝D，注意到直和的每一项都是反对称阵，则D^T＝－D，故A^T＝(QDQ^T)^T＝QD^TQ^T＝－QDQ^T＝－A，A是反对称。3、A正交，即A^TA＝AA^T＝E，再注意到正交阵的特征值的模必是1，故A的特征值或是1，或是－1，或者是一对共轭的模为1的特征对，有4.1.2式结论成立。反之，显然直和的每一项都是正交阵，故Q^TAQ＝直和＝D，D是正交阵，于是A^TA＝(QDQ^T)^T(QDQ^T)＝E＝AA^T。A是正交阵。