(2014•呼伦贝尔一模)若函数f(x)=13x3-12ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)为增函数,则实数a的取值范围是( )A. (-∞,2]B. [5,7]C. [4,6]D. (-∞,5]∪[7,+∞)
问题描述:
(2014•呼伦贝尔一模)若函数f(x)=
x3-1 3
ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)为增函数,则实数a的取值范围是( )1 2
A. (-∞,2]
B. [5,7]
C. [4,6]
D. (-∞,5]∪[7,+∞)
答
由函数f(x)=13x3−12ax2+(a−1)x+1,得f′(x)=x2-ax+a-1.令f′(x)=0,解得x=1或x=a-1.当a-1≤1,即a≤2时,f′(x)在(1,+∞)上大于0,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意;当a-1>1,即a>2时,...
答案解析:求出原函数的导函数,求得导函数的零点1,a-1,然后分1与a-1的大小分析导函数在不同区间内的符号,从而得到原函数在不同区间内的单调性,最后借助于已知条件得到a-1与4和6的关系,则答案可求.
考试点:利用导数研究函数的单调性.
知识点:本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了分类讨论的数学思想方法,采用了逆向思维方法,解答的关键是对端点值的取舍,是中档题.