已知函数f(x)=x3-x在(0,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增,求a的值.

问题描述:

已知函数f(x)=x3-x在(0,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增,求a的值.

∵f(x)=x3-x,
∴f′(x)=3x2-1,
∵函数f(x)=x3-x在(0,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增,
∴当x=a时,函数f(x)取得极小值,
由f′(x)=3x2-1>0,解得x>

3
3
或x<−
3
3
,此时函数单调递增,
由f′(x)=3x2-1<0,解得
3
3
<x<
3
3
,此时函数单调递减,
即x=
3
3
时,函数f(x)取得极小值,
即a=
3
3

答案解析:求函数的导数,根据函数的单调性建立不等关系即可得到结论.
考试点:利用导数研究函数的单调性.

知识点:本题主要考查函数单调性和导数之间的关系,考查导数的应用,根据条件求出对应的极值是解决本题的关键.