证明：矩阵A的满秩分解具体形式如下：
问题描述：
证明：矩阵A的满秩分解具体形式如下：
如果矩阵A的秩为r,A的某个极大无关列向量组为B=[a1,...,ar],A的最间行阶梯阵为A~[Cr;0] (Cr为r行的行向量,0为n-r行的行向量),证明：A=B*Cr
A的最间行阶梯阵为A~[Cr;0] ----“最间”应该为“最简” （笔误）
答
其实你的问题本身就有疑问.A=1 0 10 1 1这个矩阵的显然秩=2,第2列和第3列是他的一个极大无关组,即：a2=[0 1]^T,a3=[1 1]^T.因为a1可以由a2,a3来表示.(a1=a3-a2)所以B=0 11 1A本身就是最简行阶梯型.所以Cr=1 0 10 1 1...其实“最简行阶梯型”的意义就在于此。还是以上面的例子来说，最简行阶梯型是：101011我们看这个最简行阶梯型能得到什么？能得到：A的第一列和第二列线性无关，可以作为一个极大无关组，剩余的那个第3列的向量，就是第1列加上第2列。Cr中最后那列向量相当于一个组合系数！！再比如最简行阶梯型是10240135说明原矩阵中a1,a2是极大无关组，a3 = 2a1+3a2, a4=4a1+5a2此时我们想要恢复出原矩阵A，不就是A=[a1a22a1+3a24a1+5a2 ]嘛？那这个式子写成矩阵乘法不就是：A=[a1 a2]*10240135嘛！（把Cr分成上下两块，然后用分块矩阵的乘法）所以我觉得这个证明过程不是很好写，因为“最简行阶梯型”“非零首圆”这种东西，本身在《矩阵论》里就不是那么严格定义的。但是说理和理解思路还是比较容易的。