sin^n x * cos^m x 从0到2pi的定积分 答案看不懂.
问题描述：
sin^n x * cos^m x 从0到2pi的定积分 答案看不懂.
答案的第一步说“由周期函数的积分性质可得”,然后把积分限换成了-pi到pi ,其余不变.我想问被积函数的周期为什么是pi?
答案第二步“当n为奇数时,被积函数是奇函数,所以积分等于0” .被积函数为什么是奇函数?sin^n x 和cos^n x的奇偶性结论是什么?
答案第三步“当m为奇数时,m=2k+1” 原式化为sin^n x * (1-xin^2 x)^k dsinx 在-pi到+pi的积分,然后这个式子怎么等于0的?
答案写的太简略啊.T_T
答
第一,你的说法不对,被积函数的周期是2π,但是只要积分限的长度为一个周期,就可以换成任意的积分限.
第二,sinx是奇函数,其奇次幂也是奇函数,偶次幂是偶函数,这是复合函数的奇偶性啊.
第三,∫(sinx)^n[1-(sinx)^2]^kd(sinx)
=∫(sinx)^n-(sinx)^(n+k)d(sinx)
=[(sinx)^(n+1)/(n+1)-(sinx)^(n+k+1)/(n+k+1)]
而sin(-π)=sinπ=0
所以原式=0不好意思，打错了，其实是这样子：
根据二项式定理，(sinx)^n[1-(sinx)^2]^k必为sinx的多项式（不含常数项）
故积分后仍为sinx的多项式
而sin(-π)=sinπ=0
故原式=0-0=0