高等数学变上限积分问题此题目为：设函数f(x)可导,且f(0)=0,F（x)=（请大家自己写一下,打不出来）从0到X的定积分,积分式为t的n-1次幂乘以f（X的n次幂-t的n次幂）dt. 要求证明：lim(x→0）F（X）/x的2n次幂=（1/2n）*f‘（0）证明中设u=x的n次幂-t的n次幂,然后将F（X）化为（1/n）*0到X的n次幂的定积分,积分式为f(u)du. 我的问题是,现在弄不懂在变量代换后怎么F（X）的积分上限变为了X的n次幂了,原来不是X吗?请各位高手解答
问题描述：
高等数学变上限积分问题
此题目为：设函数f(x)可导,且f(0)=0,F（x)=（请大家自己写一下,打不出来）从0到X的定积分,积分式为t的n-1次幂乘以f（X的n次幂-t的n次幂）dt.
要求证明：lim(x→0）F（X）/x的2n次幂=（1/2n）*f‘（0）
证明中设u=x的n次幂-t的n次幂,然后将F（X）化为（1/n）*0到X的n次幂的定积分,积分式为f(u)du.
我的问题是,现在弄不懂在变量代换后怎么F（X）的积分上限变为了X的n次幂了,原来不是X吗?
请各位高手解答
答
设G(x)为f(x)原函数。F(x)=-1\n*积分从0到X，积分式为f（x^n-t^n)d（x^n-t^n)=（G（x^n)-G(0))\n,.根据洛必达法则，可得要求的极限=lim F'(X)\2nx^（2n-1）=lim G'(x^n)\(2n*x^n)=lim f(x^n)\(2n*x^n),再使用一次洛必达法则可得此极限=（1\2n)f'(0)
答
注意积分是对t的 不是对x积分
这里 t 是0->x
那么 t^n 就是 0->x^n
t^(n-1)dt=(1/n)*dt^n 就是把t^n 看作积分对象
答
其实这是你没弄清这个变量与积分值无关举个简单例子来说f(x)=x^n(n是自然数)与f(t)=t^n,这两个函数其实相等的,这去变量无关我们再回到你的题上来看积分与一般函数的不同在于用不同的变量表示,积分限也要跟着变那么u=...