如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,E是AB边上的中点,P是AC边上一动点,PB+PE的最小值是3,求AB的值.

问题描述:

如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,E是AB边上的中点,P是AC边上一动点,PB+PE的最小值是

3
,求AB的值.

连接DE交AC于P,连接BD,BP,

由菱形的对角线互相垂直平分,可得B、D关于AC对称,则PD=PB,
∴PE+PB=PE+PD=DE,
即DE就是PE+PB的最小值,
∵∠BAD=60°,AD=AB,
∴△ABD是等边三角形,
∵AE=BE,
∴DE⊥AB(等腰三角形三线合一的性质)
在Rt△ADE中,DE=

AD2−AE2
=
3

∴AD2=4,
∴AD=2.