n趋向于无穷大时,a^n/n!极限为0的具体求法
问题描述：
n趋向于无穷大时,a^n/n!极限为0的具体求法
答
n→∞时，n！与n^n同阶，且a/n→0
a^n/n!=a^n/n^n=(a/n)^n=0
答
构造一个以a^n/n!为通项的级数：
1+∑{n从0到无穷}(a^n/n!)
=1+a/1!+a^2/2!+a^3/3!+...
我们知道这就是e^a的泰勒级数展开式，这个展开式的收敛域是（负无穷，正无穷）所以不管a去什么数，这个级数总是收敛的。而级数收敛有一个必要条件就是通项的极限趋于0,于是有lim{n->无穷}a^n/n!=0。
答
也就是要证明,对于任意ε>0,存在N>0,当n>N时,a^n/n!因为a是个有限的实数,不妨设m那么显然,当n>2m时,a^(2m)/(2m)!是个有限数,设其有上界M.而当n>2m时,a/n于是,a^n/n!=[a^(2m)/(2m!)]*[a^(n-2m)/((2m+1)...n)]
现在估计M.
由于m
因此,当N>2[a]+lg(M/ε)/lg(2)时,
a^n/n!