微积分 积分方程问题,验证y=c1 *e^x+c2*e^(2x) （c1,c2是任意常数）为二阶微分方程y''-3y'+2y=0的通解.
问题描述：
微积分 积分方程问题,验证y=c1 *e^x+c2*e^(2x) （c1,c2是任意常数）为二阶微分方程y''-3y'+2y=0的通解.
验证y=c1 *e^x+c2*e^(2x) （c1,c2是任意常数）为二阶微分方程y''-3y'+2y=0的通解.并求方程满足初始条件【y（0）=0,y‘（0）=1】的特解.
答
第一个问题：
∵y＝c1×e^x＋c2×e^（2x）,∴y′＝c1×e^x＋2c2×e^（2x）,y″＝c1×e^x＋4c2×e^（2x）.
∴y″－3y′＋2y
＝［c1×e^x＋4c2×e^（2x）］－3［c1×e^x＋2c2×e^（2x）］＋2［c1×e^x＋c2×e^（2x）］
＝（c1×e^x－3c1×e^x＋2c1×e^x）＋［4c2×e^（2x）－6c2×e^（2x）＋2c2×e^（2x）
＝0.
∴y＝c1×e^x＋c2×e^（2x）是微分方程y″－3y′＋2y＝0的通解.
第二个问题：
令y＝c1×e^x＋c2×e^（2x）中的x＝0,得：c1×e^0＋c2×e^0＝c1＋c2＝0.
令y′＝c1×e^x＋2c2×e^（2x）中的x＝0,得：c1×e^0＋2c2×e^0＝c1＋2c2＝1.
联立：c1＋c2＝0、c1＋2c2＝1,容易得出：c1＝－1、c2＝1.
∴满足条件的微分方程的特解是：y＝－e^x＋e^（2x）.