设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1，x2．（1）求（1+x1）（1+x2）的值；（2）求证：x1＜-1，且x2＜-1；（3）如果x1x2∈[110，10]，试求a的最大值．
问题描述：
设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1，x2．
（1）求（1+x1）（1+x2）的值；
（2）求证：x1＜-1，且x2＜-1；
（3）如果
∈[x1 x2
，10]，试求a的最大值． 1 10
答
（1）∵关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1，x2．∴x1+x2＝−1a，x1x2＝1a．∴(1+x1)(1+x2)＝1+(x1+x2)+x1x2＝1−1a+1a＝1．（2）令f（x）=ax2+x+1，由△＝1−4a≥0得0＜2a≤12，∴抛物线f（x）的对...
答案解析：（1）把（1+x1）（1+x2）展开，再利用根与系数的关系即可得出；
（2）令f（x）=ax2+x+1，由△＝1−4a≥0得0＜2a≤
，可得抛物线f（x）的对称轴x＝−1 2
≤−2＜−1．又f（-1）=a＞0，可知f（x）图象与x轴的交点都在点（-1，0）的左侧，即可得出．1 2a
（3）由（1）可得，x1＝
−1＝−1 1+x2
．于是x2 1+x2
＝−x1 x2
∈[1 1+x2
，10]，所以−1 10
∈[1 x2
，1 11
]．进而得到a＝10 11
＝−1
x1x2
＝−[(−1+x2
x
2
2
)−1 x2
]2+1 2
，利用二次函数的性质即可得出．1 4
考试点：根与系数的关系．
知识点：熟练掌握二次函数的性质、一元二次方程根与系数的关系等是解题的关键．