如图,在△ABC中,∠B=60°,⊙O是△ABC外接圆,过点A作⊙O的切线,交CO的延长线于P点,CP交⊙O于D;(1)求证:AP=AC;(2)若AC=3,求PC的长.

问题描述:

如图,在△ABC中,∠B=60°,⊙O是△ABC外接圆,过点A作⊙O的切线,交CO的延长线于P点,CP交⊙O于D;
(1)求证:AP=AC;
(2)若AC=3,求PC的长.

(1)证明:连接AO,则AO⊥PA,∠AOC=2∠B=120°,
∴∠AOP=60°,
∴∠P=30°,
又∵OA=OC,
∴∠ACP=30°,
∴∠P=∠ACP,
∴AP=AC.
(2)在Rt△PAO中,∠P=30°,PA=3,
∴AO=

3

∴PO=2
3

∵CO=OA=
3

∴PC=PO+OC=3
3

答案解析:(1)连接OA,可得∠AOC=120°,所以,可得∠P=∠C=30°,即可证明;
(2)AC=3,所以,PO=2
3
,所以PC=3
3

考试点:切线的性质;圆周角定理;解直角三角形.
知识点:本题主要考查了直角三角形、圆周角及切线的性质定理,综合性比较强,熟记定理及性质,才是解答的关键.