大一高数!已知函数y=f(x)是微分方程y''=3y'+2y=0的解,曲线
问题描述：
大一高数!已知函数y=f(x)是微分方程y''=3y'+2y=0的解,曲线
曲线y=f(x)过点（0,1）,在该点切线斜率为1,求以此曲线为曲边,x轴[0,3]为底边的曲边梯形绕x轴转一周所得旋转体的体积
答
原微分方程的特征方程为
r∧2－3r＋2＝0
得r1＝2,r2＝1
所以通解为y＝e∧（2x）＋e∧x
又y＝f（x）是微分方程的一个解,由叠加原理可知f（x）＝e∧（2x）或f（x）＝e∧x
∴f'（x）＝2e∧2x或f'（x）＝e∧x
∵f（x）在（0,1）处切线斜率为1
将（0,1）带入f'（x）中可知
f（x）＝e∧x即为所求!
以x为积分变量,则体积元素为
dV＝π（e∧x）∧2dx
∴V＝∫π（e∧x）2dx上限3下限0
∴V＝π/2e∧（2x）|0到3
解得V＝π/2（e∧6－1）