已知椭圆4x^2+5y^2=20的一个焦点为F,过F且倾斜角为π/4的直线L交椭圆与A,B两点,求弦长lABI
问题描述：
已知椭圆4x^2+5y^2=20的一个焦点为F,过F且倾斜角为π/4的直线L交椭圆与A,B两点,求弦长lABI
答
a^2=5,b^2=4,则 c^2=1,c=1 不妨取右焦点 F(1,0), 直线方程为 y=x-1 代入方程 4x^2+5y^2=20 得 9x^2-10x-15=0 设交点A,B 的横坐标分别为 x1,x2 则由根与系数的关系知道 x1+x2=10/9, x1*x2=-5/3 所以(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2= 640/81 |x1-x2|=8根10/9 直线斜率是1,所以长度为 根2*|x1-x2|=16根5/9
答
4x^2+5y^2=20 (x^2)/5+(y^2)/4=1 c=1 设F(1,0) 直线方程为 y-0=x-1 y=x-1 4x^2+5y^2=20 联立方程组 4x^2+5(x-1)^2=20 9x^2-10x+5=20 9x^2-10x-15=0 x1+x2=10/9 x1*x2=-5/3 lABI=根号{(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]}=(16根号5)/9